製作難度: ★★★★★
GEEK指數: ★★★★☆
3D快速成型技術是什麼？ （在本站“ 大師級DIY鉅獻”一文中，DIY大神就是利用了這項技術塑造出量身定做的主動脈管套的，還記得吧~~）
目前快速成型技術主要用在高端產品設計或者高等院校的研究領域，是一項比較昂貴的技術。可相信在不久的將來，它的成本就會下降到每個人都可以用它來做一些神奇小玩意兒的水平。每次想起現在滿大街白菜價的激光打印機，在二十世紀70年代時可都是些成本在10萬美元以上的昂貴機器啊，我就覺得十年內快速成型機器就一定可以裝備在所有高校，大多數高中，或者是街角的打印店裡。現在我開始研究快速成型機在藝術、數學、教育上的應用，相信在未來一定會派上用場，以下是我研究中一些有趣的成果。
本篇文章的前半部分主要展示了一些我使用Makerbot Cupcake（一種便宜簡陋的家用快速成型機、3D打印機）製作的模型，並且給出了相應的快速成型機控製文件（*.stl文件）。歡迎大家使用這些控製文件複製我做的模型，或者對它們進行改進~
別看我看上去挺隆重，但是我卻是初級的簡陋家用快速成型機Makerbot Cupcake…很高興認識大家，我的專長是“拔絲”作品，你們很快就能見識到……
文章的後半部分展示的是一些我用快速成型法製作的專業模型和雕塑，算是本文的重頭戲。我多年來一直嘗試在藝術、數學、教育領域推廣快速成型技術，這也算是一個部分成果的匯總。這部分模型是以數學知識為基礎，使用專業的快速成型機器製作的，效果更好，更炫目，一定會讓你大飽眼福。每個模型都有關於算法的詳細信息，大部分給出了加工文件。只答應我展示時在“設計”項署上我的名字，你就獲准自由下載並製作你自己的快速成型模型了~下圖是我和下文將會提到的Sierpinski分形四面體的合影。如果你對這些模型有評論或者建議，歡迎Email（george@georgehart.com）我。
Sierpinski分形四面體與我
目錄
1 一些用Makerbot Cupcake製作的模型
2 更複雜更好看更牛逼閃閃的快速成型模型
2.1 快速成型技術的背景
2.2 與數學有關的模型
2.3 與歷史有關的模型
2.4 藝術
2.5 解謎遊戲模型
2.6 與算法有關的模型
1 一些用Makerbot Cupcake製作的模型
● 在先用一些簡單的四邊形練手之後，我編寫了一些開放面結構的多面體。這是是一個十二面體的正常形狀。
● 但是加工的時候，一些亂七八糟的怪東西（殘餘的熔融拉絲即）冒出來把開放區域連起來了……就變成這樣了——姑且叫它“拔絲十二面體”。
● 這是用美工刀清理乾淨以後清爽的十二面體。
以下給出了五種正多面體STL文件
● 四面體
● 六面體
● 八面體
● 二十面體
● 十二面體
● 這裡有一個更困難的挑戰：一個包著另一個的、開方菱形面組成的三十面體。
● 製作出來的成品：雖然美工刀清理的工作量又增大了很多，但是我還是很滿意最終效果的。 stlFile1
● 這是用來製作二十面體的連接器，插的木棍是羊肉串簽子。
● 一共需要12個連接器和30根竹籤才能製作一個完整的三十面體。這是 stlFile2 。
● 這是一個由Vi Hart設計的阿波羅分形墊（Apollonian gasket）
● 這是另一種形式的四面體，由6根有缺口的柱子連接在一起組成。本來我想把它做成一個有解謎概念的模型，做好後發現這東西還是有點太容易組裝了，用橡皮筋一固定就裝好了。真沒懸念吶！就不侮辱各位的智商了… stlFile3 .
● 但是如果做6面體或10面體時採用相同的理念，你就可以得到一個很好的12根棍的解謎模型。這個模型已經相當複雜，以至於相關的細節我寫出了單獨的一頁，有興趣可以看一下12 Sticks Puzzle 。
● 這是一個計劃中的雙曲面模型。
● 可是我的第一個Makerbot模型做出來是這樣——歐也！拔絲雙曲面~……因為步進電機在定位幾個位置時出錯了。
● 我把工作電壓調高了一點點，又潤滑了一下滑塊，做出來的雙曲面模型就沒問題了。不過花了很長時間才用美工刀把討厭的拉絲切乾淨。 stlFile4 .
● 這是一個經典的形象思維謎題：“設計一個能緊貼邊緣的穿過方形、圓形、和三角形孔洞的物體”——Bingo!答案就是圖中的這個楔形物體，它的俯視圖是圓的，主視圖和側視圖分別是三角形和方形的。
● 雖然我一般不用3D打印機來做平板零件（因為平板零件有相對更方便的製作方法），但是這裡我把三個有洞的平板也一起做了。
● 把三個板子用管工PVC水泥膠粘在一起，製作出一個可以演示這個形狀三面投影的框架，就可以好好玩你的楔形塊了。
● 最後教大家一個好玩的東西，這是楔形物塊完成一半的樣子，你會注意到這個物塊是中空的。這時我用鑷子把兩個3毫米的螺帽放到空洞裡，等模型完成以後，兩個螺帽就被密封在物塊裡面，搖起來能發出好聽的喀啦喀啦的聲響。另外萬一哪天遇到3毫米螺帽短缺的情況，你知道緊急備用品藏在哪……
這是提到的4個STL文件:
● wedge
● squarehole
● circularhole
● triangularhole
● 這是個用在牆上的調光器旋鈕的外表面，基本是一個由菱形組成的九十面體（rhombic enneacontahedron）的一半。注意觀察這個多面體上的菱形有兩種組合方式。
● 這個旋鈕內部有一個與1/4英寸標準調光器調節桿相匹配的紐帽，其他地方都是掏空的。
● 製作出來的樣子不錯吧？這個結構實際看起來會比照片上清晰一點。中間的鈕帽在加工完後還粘著不少熔絲，後來用15/64英寸鑽頭清理乾淨了，裝到牆壁開關上還挺好使。 stlFile5 .
● 這是另外一個牆體開關旋鈕的設計。該表面由映射到龐加萊模型（Poincare disk）上的（7,6,6）細分雙曲面組成，包裹了大半個球面。看起來非常酷。 stlFile6
● 這裡還有個我做的30根棍的解謎模型。
2 更複雜更好看更牛逼閃閃的快速成型模型
2.1 快速成型技術的背景
快速成型或者固體無模成型技術指的是使用一系列新技術，用薄層材料在計算機的控制下層層覆蓋構造出三維物體。用快速成型法構造出的物體因為不受傳統製造技術的約束，可以製作的更加複雜、精確，甚至擁有超現實的美感。想對這個快速發展的技術了解更多的話，可以瀏覽猶他大學快速成型頁面、和這個網站（原文地址如此，現已失效） 或者在google搜索最新進展。
2.2 與數學有關的模型
我作為一名雕塑師，對三維幾何學有著必然的興趣。出於愛好，我也對四維幾何和相關的數學應用有濃厚的興趣。我們知道，由一個四維物體，可以計算出其在三維空間的“投影”。這個投影往往是個繁複而美麗的三維物體。快速成型機對比傳統工藝，有製作複雜模型的巨大優勢，可以很容易的製作出這些似乎只存於思想實驗中的結構。哪怕不懂這些美麗物體背後的數學意義，參觀者也往往會對這些模型本身感到目瞪口呆。以下是我製作的一些模型，其中兩個是和四維幾何學有關的。我希望將來能做出一些關於代數曲面或者其他有趣的數學形式的模型。這篇論文在你的辦公桌上創建一個數學博物館對此設想做了一些相關描述。
● 圖中是一個120胞體（120 - cells），是由120個正十二面體組成的四維結構“投影”而成的。該四維結構原本由一個大正十二面體被119個小正十二面體填充組成。但是投影到三維空間時，除了最外層和最內層的兩個十二面體還是正十二面體，別的十二面體的角度都產生了必要的扭曲。
● 這個模型的直徑約3英寸，在DTM 2500Plus快速成型機上採用激光燒結技術製造。非常適合拿在手上慢慢旋轉著欣賞。
● 如果有條件，你可以下載我的STL文件，自己在快速成型機上製作一個一樣的模型。 stlFile6
● 這是另一個用Extrude Hone公司的快速成型機，採用ProMetal流程製作的4英寸直徑120胞體模型。
● 這個模型用銅粉和不銹鋼粉末直接燒結而成，堅固耐用，經得起千年歲月。幻想2000年以後有人和我以同樣的姿勢拿著這個模型慢慢旋轉著欣賞的情景，我就感到心神不寧了。 （oh~geek！）
● 對於接觸不到快速成型機的朋友們這應該算個好消息吧，該模型在Bathsheba Grossman有售！
● 這是一個廣為流傳的分形，是由二維的Sierpinski三角形泛化成的三維物體，通常被叫做Sierpinski 四面體。
● 圖中展示的是該分形的五級版本，意思就是這個分形有五種尺寸的八面體孔洞。
● 模型的邊長是8.5英寸，在前面我與它的合影中你會對它的尺寸有個直觀的印象。
● 寫一個程序讓計算機畫出這個圖形來很容易，但是要製作出模型的話就要考慮到這些四面體之間幾乎沒有接觸點。因為快速成型機做出的模型同樣也需要支撐結構，所以有時是不能完全按數學模型製作出實體模型的。在為數學模型編寫STL文件時往往就要考慮這些因素，要實際製造出這些模型往往需要用一些複雜的小技巧。 stlFile7
● 比前文提到的120胞體更美的是截角120胞體（truncated 120-cell），由120個截角12面體和600個四面體組成。圖中是截角120胞體的正交投影模型，用光固化成型技術製造，直徑約6英寸。
● 從各個方向觀察洞穿模型的孔道，這種視覺震撼恐怕只有拿在細細把玩才能體會了。
● 同樣這裡給出了製作這個模型的stlFile8 ，以及描述這個結構的論文使用3D成型技術打印四維模型。
● 還有2003年春天曾經在紐約州立大學石溪分校以這些四維模型上過的研討課（原文地址如此，現已失效）。
● 這是一種在1937年被數學家Michael Goldberg首次描述的多面體，被命名為Goldberg多面體。圖中的多面體直徑約8.3英寸，組成它的972個面中，有12個五邊形和960個六邊形。這是1000個面以下的這類多面體中面最多的一個。據我所知，無論是Michael Goldberg還是別的學者，目前都還沒有提出如何計算這類多面體的角度和邊長構成才能使它的表面更圓潤，我準備寫篇論文把這個問題好好論述一下。 stlFile9
● 上圖中是7個可以自由旋轉相互不聯接的球體。這個模型是在用現代製造技術，向製作同心像牙球的傳統藝術致敬。根據這個頁面this page的介紹，這項傳統藝術始於17世紀的紐倫堡，現在在亞洲的某些國家（比如我國）還在被傳承著。
● 這個模型的每個球體都是以不同的Goldberg多面體上的某邊緣為基準製作的，這些多面體如下：
2, 0 (42 面);
2, 1 (72面);
3, 0 (92面);
2, 2 (122面);
3, 1 (132面);
4, 0 (162面);
3, 2 (192面);
這裡展示的是一個在Stratasys 3000 機器用熔融層積法（FDM）製作的3英寸模型， stlFile10 .
● 在製作的過程中，有12個五邊形在所有球體中排列成一線，你可以看到一個由五邊形組成的通道洞穿模型。當製作完成、球體旋轉、順序被打亂後，要把模型恢復成製作時的排列，可不是一般的困難，簡直可以作為一個考驗體力的謎題了。
● 圖中是一個由十個等邊三角形糾結出的有趣形狀，是由Alan Holden首先描述的許多多邊形纏結中的一個。 stlFile11
● 這些纏結多邊形的歷史和更多的例子可以看這篇再探有序的纏結。文章的最後還有一個java軟件的鏈接可以自動生成製作更多這類模型STL文件。
● 這是兩個正二十面體對稱的均勻複合多面體（uniform polyhedral compounds）。這些結構在1976年由John skilling首先做出數學描述，我在1999年做出了這兩個實體模型，不知有沒有人比我先做出來。
● 上面的模型是五個同心截角四面體複合而成，下面的是由六個五棱柱複合而成。要看明白這些模型，你需要把模型想像成許多互相貫通穿插的多面體。
● 在由截角四面體複合而成的例子（上半圖）中，你可以看到有朝向你的等邊三角形（這個三角形的邊長基本等於整個複合體的半徑）同樣你還能找到邊長與其相等的一些六邊形。四個三角形和四個六邊形構成一個截角四面體。五個截角四面體互相部分重疊著連接在一起，就構成了整個模型。
● 類似的，由五棱柱組成的例子中，你也能看到有著相同邊長的正方形和五邊形。五個正方形和兩個五邊形構成一個五棱柱。六個五棱柱連接就成了模型中的樣子。
● 或者把下面給出的STL文件用三維讀圖軟件打開並旋轉觀察，你馬上就能理解我在說什麼了。
● 這些模型是用石膏在Zcorp快速成型機上製作的。這個機器的工藝有點點類似於噴墨打印機：有選擇的把水噴在石膏要硬化的地方，再把沒有潤濕的石膏粉吸走，如此一層層的反复。
● 這是兩個模型的STL文件: stlFile12 & stlFile13 。
● 這是另一個著名的分形：孟結海綿（Menger sponge）。 (確實頗有幾分神似海綿寶寶)…圖中用熔融層積法（FDM）製作的模型是一個三級分形，也就是說這個分形中有三種不同大小的孔, stlFile14
● 該分型的有趣之處是：它的表面積會隨著它級數的增長以指數方式增長（同樣增大的還有STL文件大小）。如果需要我Email給你四級分形的孟結海綿STL文件（26M），請聯繫我，雖然可能在在你的電腦上直接生成會更容易一些。
● 把一個立方體分割為3乘3一共9個體素，如果某個體素的X、Y、Z坐標（三進制）中有兩個或以上的值為1，這個體素就是空的。明白了以上這句話的意思，再加以推演，可以得到一個孟結海綿的簡單算法。
● 下面的這幅圖展示了被一個六邊形截成兩半的孟結海綿。這裡是製造半個孟結海綿的stl文件，這個用激光燒結技術製作的模型邊長是5.5厘米。 stlFile15
● 你應該知道用一個面把正方體切成兩半時，使截面為正六邊形,該怎麼切：讓四條長對角線的垂直平分線都在該截面上就行了。 （不明白的人，作者讓你切豆腐去……）你也可以輕鬆想像出正六邊形的截面是什麼樣子。但是要試圖想像同樣切法的孟結海綿截面是什麼圖案，絕對是對形象思維能力的大挑戰。
● 我就經常用這個模型作為謎題，讓猜謎者在不分開兩半孟結海綿時猜測著畫出截面的樣子，然後打開兩半看看他們畫的和真正的截面有什麼不同。結果通常都讓猜謎者大吃一驚。
● 為了給你一個機會試試這個題目，我把單獨的半個孟結海綿的照片放在這篇Half a Menger Sponge 裡了。
● 圖中是用Voroni 單元（Voroni cells） 拼成的四面體和八面體。多面體裡的Voroni單元圍繞著面心立方晶格點緊密排列。
● 這是一個兩層測地球的4英寸模型。它的外層有260個三角形，內層有12個五邊形和120個六邊形。據我所知，這是世界上唯一的手性雙層測地球（說人話就是：這個測地球不對稱。） stlFile16
● 這個是仰截角二十面體（snub truncated icosahedron），這個模型背後的故事如果算故事的話就是：構成一個足球的五邊形和六邊形們被三角形組成的手性邊界分隔開來。想知道更多？看看這篇 The Snub Truncated Icosahedron 。
● 如果你愛音樂又愛幾何學，這個模型說起來一定相當酷。這是由Clifton Callender、 Ian Quinn和Dmitri Tymoczko描述的一個代表三和弦的軌形（orbifold）。當然，它抽象掉了所有具體的同和弦換位。
● 模型中的一條條支柱連接著的和弦之間，都有某一個音符的相對變化為半音。在錐頂上的是增三和弦，與它連接的是大三和弦和小三和弦。在底部最右邊的是“同度和弦”，就是三個音符都一樣的和弦。坑爹呢？這不就是一個音麼？ ！
● 大部分和弦有6個鄰居，因為這些三和弦中的三個不同音符都可以增高或者是降低半音。在軌形底部邊界的一圈是只有兩個不同音符的和弦，這些和弦除了“同度和弦”以外都有4個鄰居。 “同度和弦”因為只有一個音符，就只有或高或低兩個鄰居。大三和弦和小三和弦有5個鄰居，但是連接彼此的有兩條通路，所以仍有6個連接。
● 這個用激光燒結製作的尼龍模型長5.5英寸，這是它的STL文件。還有一張高解析度照片，仔細看的話能看到纖維層與層之間的小台階。
● 通過把圖中這樣形狀相同的小多面體放在其他該多面體的頂點上，就可以獲得分形多面體集群了。
● 具體做法是先把這些小多面體拼成這種多面體形狀的大多面體單元，然後做出足夠多的大單元，再拼成更大的單元。繼續做下去就可以得到任何級別的版本。
● 例如下圖就是一個星形十二面體拼成的二十面體拼成的二十面體。
●更多細節見 Polyhedral Clusters 。
● 這是一套對Mortan Bradley幾何雕塑設計的重建模型。更多細節在這裡Sculpture of Morton C. Bradley, Jr. 。
2.3 與歷史有關的模型
我設想，未來的小型博物館、學校和有興趣的人們都可以下載並用快速成型的方法，製作出能再現大型博物館裡重要展品的“複製展品”。比如教進化論的老師就可以下載並且複制出從古猿到現代人一系列頭骨模型，用來講解顱骨的演變。這些模型在教學過程中可以被同學們手傳手自由的仔細觀察，也可以放肆的在上面直接用標記筆塗畫重要的地方。
為了預演這種未來的圖景，我製做了一系列當年達芬奇（Leonardo da Vinci）為盧卡.帕喬利（Luca Pacioli）講解數學時製做的多面體模型。
● 首先是由120個等邊三角形組成的“elevated icosidodecahedron ” 特意為了這個詞語諮詢了一下無所不知的matix67同學，得到官方解釋如下：Dodecahedron是正十二面體，Icosahedron是正二十面體,Icosidodecahedron是他倆的結合體。就是在這個多面體的每個面上架起相應的三角形、五邊形骨架。
● 圖中我手上展示的模型是用熔融層積法製作的，我過去還製作過木質的達芬奇的這些模型。
● 第二個是由72個面（24個三角形、48個四邊形）構成的球體結構。
● 這個結構來源於文藝復興時期製造的，用來講解《歐幾里德原理》（Book12,proposition7）的輔助教具。圖中的模型是用Zcorp快速成型機製作的，直徑為3英寸。
● 這是一個用小單元組裝的撓環面模型，原型是在德國某博物館展出的十六世紀木質工藝品。
● 該模型由一個環形鏈條和67個相同小單元組裝而成。沒有人清楚這個東西具體有什麼功能還是想表達什麼，也許只是藝術品或是好奇心的產物，總之這個結構看上去很有意思我就把他造出來了。
● 用快速成型機複製這類歷史物品可以幫助人們更好的了解、研究它們的功能或製作方法……厄…我能管這叫“脊椎形”麼。
2.4 藝術
● 作為雕塑師，我會用到許多種原材料以及雕塑方法，其中也包括快速成型法。這裡Here展示了一些我的作品。雖然通常為了控制這些雕塑作品的可複制性，我不會放出它們的STL文件供下載，但是以下模型十分有趣，有趣到我想你分享複製出它們的快樂。
● 比如這個，這是一個開放式結構的6層截角三十二面體。
● 其中希望你注意到的亮點，是它連接層與層之間的螺旋錐形，嗯，是一個非常複雜的結構對吧。
● 這個模型是用光敏樹脂採用激光光固化工藝製作的,直徑三英寸。
● 附贈一篇解釋該模型結構的短文： Rapid Prototyping of Geometric Models 。
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● 這是一個用激光快速燒結成型法製作的，直徑三英寸的球體。該球體由許多個近似菱形組成。鑑於這個球體具有與二十面體相同的旋轉對稱，但是卻沒有鏡像平面，我覺得它是一個學習空間對稱性的好例子。同時它也具有向杰出的數學家、天文學家、器械製造專家：Abraham Sharp致敬的意義。
● 你可以用這個STL文件stlFile18 製作出該模型，然後找到它上面12個五個菱形交彙的點。 （圖中至少有兩個比較明顯的，因為我已經找到了，你找到了麼？）注意，他們並不是直線指向彼此的。關於這個模型的數學意義，請看這篇論文: Reticulated Geodesic Constructions 。
● 這是我的一個作品，我把它叫做《糾纏的馴鹿》（私下里我認為，這位大師的所有作品可以被統稱為：《糾纏的XX》）。這是一個用激光燒結法製作的直徑3英寸模型。靈感來源於我的想像：一群馴鹿如果都頭朝外團成一個團子會是什麼樣子的。
● 這是一篇描述這個作品基於什麼方法製作的文章，還展示了近期我的一些其他快速成型雕塑Sculpture from Symmetrically Arranged Planar Components 。
● 圖中是一個由火蜥蜴形狀編織的模型，直徑2.5英寸，在Objet 333快速成型機上製作。這是我在MIT做駐場藝術家時，為一個群雕項目製作巨型雕塑（a large sculpture）時創作的原型。
● 這是一個糾結在一起的激光燒結模型，是一件雕塑作品同時也算是一個有解謎概念的模型。 2英寸直徑的大小實在有些無法展示設計細節，所以如果想動動手的話，可以按照這裡this short paper給出的模板製作一個紙模，再用膠帶粘起來……
● 這是一個其結構讓人想起海膽的雕。
● 這個則讓人聯想到某種螺旋環面生物。這兩個都是我在做一個叫做“棘皮動物”的項目時製作的雕塑。
● 這個雕塑形式來源於AFWell在1956年於《立體有機化學》（《The Third Dimension in Chemistry》）一書中對“（10,3）-a”網格的描述。最近該晶體結構由Toshikazu Sunada普及傳播，被稱做K4晶體。這個結構在各個方向上的投影有著巨大的不同，所以看一定要看多組照片才能看清它複雜的構造。
● 最後的這件雕塑藝術品與上述作品有著本質區別。這是個看起來像有機體的結構是由一個用來製作生長圖形（比如基於細胞結構的生長圖形）的算法製作的。
● 這個雕塑其實只是整個像3D電影般生長過程中的一幀。這個算法每次循環都會在上一次計算出的構造上多添加一個細胞。
● 該模型用ABS塑料由熔融噴絲法製作。因為模型本身的大小和顏色問題，可能從照片上看不清它的細胞結構。這裡有我上過色的大圖，你應該能清楚看見細胞結構啦。
2.5 解謎遊戲模型
● 這是一個由20個熔融層積法製作的相同部件組成的解謎模型。
● 拓展信息看 這裡： 20-Part Puzzle 。
2.6 與算法有關的模型
● 這篇論文描述的算法Solid-Segment Sculptures ，適用於把一堆線段轉換為可以用快速成型機加工的三維模型。有興趣的同學可以看一下。文中提到的一種用三角形有效包裹線段的方法在前文提到的許多模型中都使用過。
● 圖中就是一個用該方法製作的有五個投影球面的5英寸模型。
最後，歡迎複製這些我設計的模型，但請一定要記得保留我的設計署名，謝謝~
資料來源
翻譯: Camel
編輯: Luna3.0
果殼DIY站QQ群: 132647923 果殼DIY站微博: http://t.sina.com.cn/guokrdiy
via 果壳
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